Теория устойчивости

В середине XIX в. расчет сжатых стержней в мостовых фермах, арках, конструкциях перекрытий и колоннах по формуле Эйлера не встречал сочувствия инженеров. Причины этого были следующие: во-первых, неясность процесса продольного изгиба, для которого, по Эйлеру, было возможно несколько видов деформаций; во-вторых, то, что инженеры-практики заметили и экспериментально доказали, что в случае применения формулы Эйлера, при известных отношениях длины стержня к его радиусу инерции, разрушение наступает при меньшей сжимающей силе, чем критический груз Эйлера. Вследствие этого многие предпочитали применять формулу Навье, которая учитывает сжатие и изгиб стержня при определенных допускаемых напряжениях.

В 1854 г. в Германии Шварц, а в 1862 г. в Англии Ренкин рассматривали формулу продольного изгиба Навье, применяли ее в расчетах и внесли в нее некоторые усовершенствования. Экспериментальные проверки улучшенной формулы Навье в разных странах показали, что в основном она соответствует требованиям расчета сжатых стержней, и поэтому применялась почти до середины XX в. под названием формулы Навье-Шварца-Ренкина.

Однако было ясно, что формула Навье соединила в себе сжатие и поперечный изгиб стержня, а продольный изгиб затушевывался другими явлениями. Кроме того, отношение длины стержня к его радиусу инерции в формуле Навье-Шварца-Ренкина распространялось на все случаи сжатых стержней. Между тем формула Эйлера согласно опыту ограничена определенными отношениями длины стержня к радиусу инерции. Поэтому авторы приближенной формулы Навье-Шварца-Ренкина не имели основания при ее выводе опираться на формулу Эйлера. Эти соображения заставляли многих исследователей продолжать теоретические работы по расчету сжатых стержней.

Ю. Вейсбах вывел формулу Эйлера, интегрируя дифференциальное уравнение упругой оси сжатого стержня с одним заделанным концом и для стержня с шарнирными опорами. Для внецентренно сжатых стоек он получил формулу Эйлера и сравнил результаты с приближенной формулой Годкинсона. Опираясь на его опыты, Ю. Вейсбах составил свои формулы для расчета круглых железных и деревянных стоек в зависимости от отношения их длины к диаметру.

Наиболее глубокое исследование формулы Эйлера в 1862 г. дал Клебш. Он рассматривал стойку с одним защемленным концом и нагруженную силой на свободном конце. Интегрируя дифференциальное уравнение упругой оси стойки, Клебш определил ее прогибы в зависимости от изменения косинуса, входящего в состав производной постоянной, в функции длины стойки.

Клебш доказал правильность формулы Эйлера. Его развитие расчета по Эйлеру состояло в том, что в колонне, изогнутой продольной силой, можно определить в тригонометрической форме положение любой точки ее оси.

В 1870 г. Н. А. Белелюбский перевел с немецкого книгу Лесселя и Шюблера по расчетам мостов [84]. В этом труде авторы несколько уточнили коэффициенты в формуле Навье-Шварца-Ренкина и дали некоторый анализ формулы Эйлера, указав, что она неприменима к расчету коротких стержней. Для этих стержней в книге не дано никаких норм или формул, но предложено короткие стержни считать не работающими на продольный изгиб и воспринимающими лишь простое сжатие. По расчету на продольный изгиб длинных стержней авторы книги отметили, что формула Эйлера не согласуется с опытами Годкинсона и, следовательно, рассчитывать сжатые стержни в мостах нужно по предложенной ими формуле. В 70-80-х годах все русские мосты рассчитывались по формулам Лесселя-Шюблера, т. е. по уточненным данным к формулам Навье-Шварца-Ренкина.

Русские исследователи внимательно следили за экспериментальными работами в Европе и Америке, где уточнялись формулы для расчета сжатых стержней. К тому же аварии мостовых сооружений требовали изучения теории расчета конструкции и особенно теории продольного изгиба.

В 1883 г. М. М. Черепашинский [85] сделал попытку дать новые приемы расчета металлических конструкций вообще и расчета сжатых стержней в частности. Он изучил опыт Англии, Германии и США, где было установлено, что расчет стержней при знакопеременных напряжениях по приближенным формулам ведется неправильно. Однако единственным достижением указанных стран в это время было уточнение коэффициентов в приближенных формулах для расчета сжато-изогнутых стержней с разными заделками концов.

М. М. Черепашинский предложил свои поправки к общепринятым приближенным формулам.

В течение пяти лет (1887-1891) в Германии, Швейцарии и Франции были получены важные экспериментальные исследования явления продольного изгиба. Они значительно прояснили представления о продольном изгибе, но теоретическая сторона этой проблемы все же решена не была.

Ясинский Феликс Станиславович (1856-1899) Профессор Петербургского института инженеров путей сообщения с 1896 г., выполнил оригинальные исследования в области устойчивости упругих систем, получивших мировое признание. Опубликовал более 50 научных трудов по расчету сжатых стержней металлических конструкций, сопротивлению продольному изгибу, опыту развития теории продольного изгиба и др., которые легли в основу теории устойчивости. В 1892- 1893 гг. в связи с разработкой проектов усиления мостов опубликовал исследование 'Опыт развития теории продольного изгиба', в котором научно обосновал инженерное значение теории устойчивости сжатых стержней, дал решение многих новых задач этой теории, предложил основанную на опытных данных эмпирическую формулу критических напряжений в сжатых стержнях выше предела пропорциональности и др. Автор многих оригинальных конструкций металлических сооружений, промышленных зданий и т. д.

Русский инженер Ф. С. Ясинский решил задачу продольного изгиба. Будучи начальником технологического отдела службы пути Петербурго-Московской железной дороги, он в 1890-1892 гг. провел испытание и пересчет действовавших металлических мостов под более тяжелую нагрузку. Изучив теорию продольного изгиба и рассмотрев соответствующие эксперименты, Ясинский выяснил, что в инженерной практике почти не применялись расчеты сжатых стержней по теории продольного изгиба и что к этой теории сложилось неправильное отношение. Было очевидно, что для устранения недоверия инженеров к теории продольного изгиба необходимо строгое обоснование формулы Л. Эйлера: нужно было убедительно доказать безопасность ее применения в различных условиях работы сжатых стержней. Ф. С. Ясинский блестяще справился с этой задачей. В 1892-1893 гг. он опубликовал работу, которая и принесла ему славу ученого [86].

Ф. С. Ясинский начал с того, вывода формулы Эйлера путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси сжатого стержня и путем интегрирования точного дифференциального уравнения для того же стержня. Он отметил, что это совпадение "есть логическое последствие, вытекающее из математических свойств точного и приближенного исходных дифференциальных уравнений".

Таким образом, то, что Клебш в свое время отнес к "счастливой случайности", в действительности было объективной закономерностью.

Разрабатывая проблему продольного изгиба, Ф. С. Ясинский ориентировался на нужды практики. С этой целью к четырем классическим случаям продольного изгиба он добавил еще восемь и вывел для них расчетные формулы. Заметив закономерность структуры этих формул, Ясинский обобщил их путем введения в формулы приведенной длины стержней. Формулы Ясинского для расчета сжатых стержней в различных условиях отвечали случаям конструирования металлических мостов закрытого и открытого типов. Он дал расчет сжатых стержней многораскосных ферм и приближенный расчет сжатого пояса открытого моста; последний вошел в строительную механику под названием "задача Ясинского".

Труды Ф. С. Ясинского были хорошо известны инженерам других стран. Его статьи публиковались в ряде иностранных журналов. В 1894 г. его диссертация "О сопротивлении продольному изгибу" была опубликована на французском и польском языках.

В конце XIX в. проблема устойчивости сжатых стержней стала выходить за рамки конструкций. Выяснилось, что при известных условиях от нагрузки определенной величины балки и сжатые радиально кольца, а от крутящей нагрузки валы машин теряют устойчивость. Поэтому в строительной механике началось формирование нового научного направления - устойчивости упругих систем.

Прежде всего нужно было решить комплексную задачу изгиба, сжатия и устойчивости тонких пластинок, устойчивости и кручения металлических балок и колонн, колебаний и вибрации валов, конструкций мостов и зданий. Эта задача выдвигалась на первое место в связи с ростом быстроходности машин, поездов и мостовых кранов.

Решение этих вопросов выпало на долю главным образом русских ученых и инженеров.

В конце XIX в. А. Н. Крылов изучал технику английского судостроения, а в начале XX в. вел технические испытания судов военного флота. Он создал теорию расчета судна, рассматривая его как балку с изменяющимися поперечными сечениями. Были опубликованы работы A. Н. Крылова по анализу продольной и килевой качки корабля, равновесия судна на воде и по теории вибрации боевых судов. Он решил задачу о движении груза по балке и рассмотрел ее колебание.

Переход к тонкостенным конструкциям захватил не только военное и торговое судостроение. Выпуск прокатных фасонных профилей - уголков, швеллеров и двутавровых балок, применявшихся в строительстве, выдвинул на первое место проблему устойчивости тонкостенных стержней.

Тимошенко Степан Прокофьевич (1878-1972) Выдающийся ученый и инженер, специалист в области статики сооружений, сопротивления материалов, строительной механики. Профессор Киевского политехнического института (с 1906 г.), Электротехнического и Политехнического институтов и Института инженеров путей сообщения в Петербурге (1906-1917). Основные научные труды посвящены вопросам теории упругости, устойчивости стержней, плит и оболочек. Особое место занимает его фундаментальный двухтомный 'Курс теории упругости' (1914-1916)

Разработкой новых проблем строительной механики в начале XX в. усиленно занимался С. П. Тимошенко. Его решения всегда были вполне обоснованными, но приближенными. Опираясь на труд Рэлея "Теория звука", С. П. Тимошенко решил ряд задач в области устойчивости, кручения и колебания стержней и балок. Эти решения быстро вошли в практику. Он успешно применил метод Рэлея, который доказал, что при колебаниях конструкций достаточно знать амплитуду колебаний, и рассчитал этим приемом устойчивость плоской формы изгиба пластинок и сжатых стержней.

Устойчивостью сжатых стержней занимались ученые разных стран.

B. П. Листовничий в 1907 г. изучил сжатые стержни теоретически и экспериментально [87]. Он нашел, что модуль упругости деформированной части стержня в критическом состоянии выражается более сложным соотношением напряжений и удлинений. Модуль упругости может изменяться как по линейному закону, так и по закону квадратной или кубической параболы; может быть и логарифмическая зависимость. Были даны формулы критических сил для указанных случаев изменения модуля упругости материала. Исследования В. П. Листовничего не были замечены учеными и инженерами.

В 1913 г. К. С. Завриев изучил задачу сложного продольного изгиба от совместного действия продольных сил и поперечных изгибающих моментов [88]. К. С. Завриев не согласился с двухчленной формулой вычисления напряжений при продольном изгибе и предложил свою, одночленную формулу.

В 1913-1915 гг. А. Н. Динник исследовал статические задачи колебания упругих тел. Он рассмотрел изгиб мембран и пластинок, изгиб пластинок на упругом основании, устойчивость сжатых пластинок при различных краевых условиях, устойчивость колонн переменного сечения, кручение валов и равновесие тяжелой нити и ряд других задач [89]. Их решение А. Н. Динник провел с применением функций Бесселя методами теории упругости. Этим самым он стал одним из основателей нового направления в строительной механике.

В связи с появлением железобетонных конструкций с жесткими узлами в конце XIX в. стали развиваться новые виды статически неопределимых систем. Появились многопролетные и многоярусные рамные каркасы высоких зданий в металле и железобетоне. Однако долгое время надежных методов расчета этих конструкций не было, хотя изучением жесткости узлов и их влияния на прочность мостовых ферм много занимались в XIX в.

В 1909 г. Б. Г. Галеркин [90] провел фундаментальное исследование по продольному изгибу применительно к многоэтажным колоннам. Использовав дифференциальные уравнения для расчета сжатых стержней, он доказал, что формула Эйлера с успехом может быть применена для решения устойчивости многоэтажных колонн. Пользуясь эллиптическими интегралами, он находил прогибы и напряжения в колоннах от сжимающих сил, от сил, равномерно распределенных по стойкам, и от узловых моментов. Он показал, что в системах связанных между собой колонн критические силы для каждой колонны можно получить независимо от других.

В 1915 г. Б. Г. Галеркин написал выдающийся труд по расчету стержней и пластинок [91]. Эта работа положила начало методу решения дифференциальных уравнений, который стал известным под названием "метод Галеркина". По этому методу вместо нахождения неизвестной функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению задачи, можно искать некоторое количество неизвестных постоянных величин, входящих в систему уравнений. Так как дифференциальные уравнения, применяемые в строительной механике, часто имеют линейный характер, то метод Б. Г. Галеркина приводит к решению линейной системы алгебраических уравнений.

Труды А. Н. Динника и Б. Г. Галеркина положили начало систематическому применению методов теории упругости в строительной механике.