Теоретические и графоаналитические расчеты балок

Во второй половине XIX в. в разных странах уточнялись расчеты балок. Русские инженеры много сделали для развития теории их расчета и практического применения. Так, в 1844-1848 гг. Д. И. Журавский, занимаясь строительством деревянных мостов, заметил, что в прямоугольных балках по нейтральной оси появляются касательные напряжения, и дал формулу для их вычисления, которая применяется и в наше время. В составных деревянных балках он указал метод расчета соединительных шпонок и вычисления расстояния между шпонками. Для железных составных балок Журавский дал расчет шага соединительных заклепок.

Один из наиболее интересных случаев разработки теории балок был дан инженером Н. А. Беспаловым в 1855 г. [76]. Он предложил простой способ решения некоторых задач сопротивления материалов. Способ этот состоял в замене сил сопротивления частиц материала пропорциональными объемами тела конструкции. Например, момент изгибающих сил заменялся моментом объемов сопротивляющегося тела.

Н. А. Беспалов этим способом рассчитал консольную балку, балку на двух опорах, балку с защемленными концами при различных нагрузках и при различных поперечных сечениях балок (круглом, двутавровом и т. п.). Результаты при этом были получены те же, что и при обычном расчете.

Работа Н. А. Беспалова интересна в том отношении, что закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки и закон удлинения ее волокон при изгибе он представлял в виде треугольных эпюр. Так как удлинение любого волокна балки при изгибе можно выразить через напряжения, то Н. А. Беспалов соединил полученные эпюры в одну, отложив по оси абсцисс удлинение, а по оси ординат им соответствующие напряжения. Результирующая эпюра оказалась очерченной по параболе. Н. А. Беспалов обратил внимание на то, что каждая из треугольных эпюр представляет работу внутренних сил, и установил, что площадь параболической эпюры выражает полную работу всей балки при изгибе. Приравняв работу внешних и внутренних сил друг к другу, он, например, для консольной балки нашел ее прогиб, пользуясь площадью параболической эпюры как нагрузкой.

Исследования Н. А. Беспалова замечательны тем, что он намного раньше других применил к анализу балок эпюры напряжений и тем самым внес в теорию балок графоаналитический метод расчета. К сожалению, это осталось незамеченным его современниками.

Распределение нормальных и касательных напряжений в изгибаемых балках в течение всей второй половины XIX в. было предметом пристального изучения. Нормальные напряжения тогда вычислялись по приближенной формуле, подтвержденной в 1856 г. исследованиями Сен-Венана, который показал, что формула хорошо согласуется с методами теории упругости при условии, если нагрузка отдалена от исследуемого сечения хотя бы на высоту балки. Если же груз расположен вблизи изучаемого сечения балки, то распределение нормальных напряжений здесь уже не является простым. В 1893 г. А. Фламан дал точное решение этой задачи. Исследованием нормальных напряжений в балках при изгибе было установлено, что для точного решения задачи по распределению нормальных напряжений при изгибе балок необходимо применение методов теории упругости.

Ф. Е. Максименко в 1886 г. исследовал величину погрешности, которая возникает при замене точного расчета изгиба балок приближенным расчетом [77]. Он занялся этим вопросом потому, что, как он заметил, в курсах и книгах по сопротивлению материалов этот вопрос не был исследован. Путем интегрирования точного и приближенного дифференциальных уравнений изгиба Ф. Е. Максименко установил пределы погрешностей, которые повышаются с уменьшением высоты балки. Вообще погрешности имеют незначительную величину и приближенный расчет балок на изгиб вполне удовлетворяет практику.

В 1887 г. Ф. Е. Максименко исследовал влияние касательных напряжений на искривление поперечных сечений балок и их влияние на изгиб балки [78]. Опираясь на работы Б. Сен-Венана, доказавшего, что при изгибе балок их поперечные сечения не остаются плоскими и поворачиваются на некоторый угол и что касательные напряжения при изгибе балок вызывают дополнительные деформации балок, Максименко вывел уравнение поперечной поверхности балки, искривленной касательными напряжениями. Он показал, что касательная, проведенная к любой точке искривленной поверхности, составляет с осью балки угол, тангенс которого равен относительному сдвигу в данной точке. Ф. Е. Максименко показал, что никто еще не установил величину влияния касательных напряжений на изгиб балки. Он доказал, что касательные напряжения увеличивают прогиб балки на 3-8%.

Исследование касательных напряжений в балках после открытия их Д. И. Журавским имело целью уточнить их распределение по поперечному сечению. Поэтому во второй половине XIX в. изучались балки эллиптического, круглого, квадратного, прямоугольного и фасонного профилей.

Исследование касательных напряжений в изгибаемых балках точными методами показало, что если толщина балки мала сравнительно с ее высотой и длиной, то изгиб вызывает более сложное изменение формы поперечного сечения балки, чем простое искривление. При этом было доказано, что ошибка в определении нормальных напряжений по теории Бернулли - Эйлера сравнительно с точными решениями не превышает 0,1-0,2%.

Во второй половине XIX в. теория неразрезных балок получила значительное развитие. Почти все выдающиеся авторы занимались этой проблемой.

В России идеи расчета неразрезных балок находили широкое применение. В 1860 г. Э. Коллиньон дал расчеты неразрезных мостов. [79]. Опираясь на работу Бресса, он преобразовал уравнения Б. Клапейрона для расчета балок со смещающимися опорами. Э. Коллиньон отметил, что уравнения Бресса дают возможность получать расчетные моменты без вычисления опорных реакций неразрезных балок.

В 1868 г. И. А. Евневич вывел формулы реакций неразрезных балок от сплошной распределенной нагрузки.

В 1899 г. И. А. Ласкин сообщил о работе А. Холодецкого по неразрезным балкам. Он получал конструкции с переменным моментом инерции. И. А. Ласкин еще в 1894 г. привел фомулы изгибающих моментов, пригодные для расчета таких балок при любых нагружениях [80].

Несмотря на то, что теория неразрезных балок успешно развивалась, до 50-х годов XIX в. еще никто не предложил способа определения влияния подвижной нагрузки на сооружение в целом. Между тем потребность в таком способе непрерывно возрастала. В мостовом строительстве применялись конструкции ферм со сложными многораскосными решетками, а также неразрезные балки и фермы. Поэтому создание линий влияния стало актуальной задачей.

В 1861 г. А. С. Рехневский опубликовал расчеты многораскосных мостов [81]. В конце первой половины XIX в. Д. И. Журавский решит задачу расчета раскосных ферм методом наложения усилий, полученных путем последовательного разложения силы на элементы простой раскосной фермы. Эти фермы получались из многораскосной системы путем расчленения их на простые системы.

А. С. Рехневский решил задачу Д. И. Журавского более общим аналитическим способом, который подсказал ему и графический способ расчета многораскосных ферм. Он рассуждал так: раскосы должны передавать вертикальную нагрузку на опоры, поэтому нагружение любого раскоса зависит от величины вертикальной силы, появляющейся в сечении от проходящего поезда. Но определение наибольшей силы нужно сделать для каждого сечения фермы при любом положении нагрузки. Он вывел формулу вертикального давления в сечении балки в функции расстояния сечения от опоры и положения нагрузки в функции переменной абсциссы.

А. С. Рехневский заметил, что вертикальное давление всегда будет наименьшим при нулевой абсциссе, а наибольшим - когда поезд занимает на ферме все расстояние от опоры до изучаемого сечения. Если поезд перейдет за изучаемое сечение, то для максимального давления нужна другая формула в той же функции расстояния сечения от опоры. А. С. Рехневский перевел свои формулы на язык графики, дающий возможность определять величину расчетной вертикальной силы в любом сечении фермы. Говоря о порядке работы с графиком, он отметил, что раскосы в середине фермы могут иметь при подвижной нагрузке разные знаки, и поэтому сжатым раскосам для предупреждения их изгиба следует придавать особую форму или большее сечение. Таким образом, А. С. Рехневский научно обосновал необходимость жестких сжатых раскосов в фермах.

85. Многораскосный железнодорожный мост на Ярославской железной дороге у Хотькова, построенный по проекту инженера А. С. Рехневского

А. С. Рехневский рассчитал и затем в 1863 г. построил мосты для Волго-Донской и Московско-Ярославской железных дорог. На рис. 85 показан мост у Хотькова (Московская область) через р. Пажа. На опоре моста имеется мемориальная доска с надписью: "Строителю сего моста Александру Семеновичу Рехневскому от чтящих его память. Родился 1 августа 1836 г. Скончался - 11 июля 1863 г.".

На рис. 85 видны шпренгеля, усиливающие многораскосные фермы Усиления эти сделаны в 50-х годах XX в. В 1956 г. многораскосные фермы А. С. Рехневского заменены балочными мостами со сплошной стенкой. Кирпичные опоры в целях усиления заключены в железобетон.

В 1883 г. Л. Д. Проскуряков исследовал влияние перемещающихся грузов на прочность балок [82]. Исходя из того, что поперечная сила вдоль пролета балки изменяется по линейному закону, он нашел, что наибольший момент получается под тем грузом, где поперечная сила меняет знак. На этом основании было записано условие расположения критического груза, когда в балке будет наибольший изгибающий момент.

Л. Ф. Николаи проанализировал расположение подвижной нагрузки на балке. Он заметил, что максимальный изгибающий момент в балке может быть не только тогда, когда на ней размещается наибольшее число грузов. Возможен и другой случай появления максимального момента, когда критический груз сходит с пролета, а оставшиеся грузы приближаются к середине балки [83]. Л. Ф. Николаи дал аналитические формулы для расчета наибольших изгибающих моментов в зависимости от расстояния между грузами. Он составил таблицы численных значений этих расстояний. Им были исследованы случаи расчета балок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой и подвижными грузами.

В середине XIX в. исследователи пользовались дифференциальным уравнением четвертого порядка, полученным И. Бернулли и примененным Д. Бернулли и Л. Эйлером при изучении колебания пластинок и балок. В 1867 г. Е. Винклер применил это уравнение к практическим расчетам балок на упругом основании, а в 1888 г. Г. Циммерман рассмотрел железнодорожный рельс как балку на многих упругих опорах, которые он привел к сплошному упругому основанию.

В 1883 г. В. Г. Шухов к расчету плавающей балки применил вывод о том, что производная четвертого порядка от уравнения упругой линии прямого бруса выражает нагрузку на единицу его длины. Он показал, что если произведение стрелы прогиба балки на ее длину меньше единицы, то изгибающий момент в плавающей балке не зависит от ее длины. На этом основании В. Г. Шухов решил, что нефтеналивные суда можно строить значительной протяженности.

С. П. Тимошенко в 1915 г. рассчитывал рельсы как балки на упругих опорах.