Любителям умственной гимнастики

Книга «Занимательные задачи» продолжает ту же популяризаторскую идею. Она вобрала в себя множество неоднородных по степени трудности задач, решаемых арифметически и лишь в очень редких случаях – геометрически. Все задачи, в сущности, – на сообразительность.

...Королева страны великанов из «Путешествия Гулливера» Свифта милостиво подарила лилипуту золотой перстень, сняв его со своего мизинца и надев лилипуту через голову, как ожерелье. Перельман спрашивает: могло ли быть такое? Не ошибся ли Свифт? Подсчеты говорят: не ошибся. Диаметр перстня составил 56 сантиметров, а масса перстня – 9 килограммов.

Всего в этой книге собрано полтораста задач, одна веселее и хитрее другой. Книга – отличного качества оселок для оттачивания смекалки и сообразительности, основанной на хорошем знании математики. Отсюда следует, что ее надо изучать, чтобы справиться с любой «коварной» задачей. Многие из собранных в книге задач в свое время предлагались еще читателям журналов «Природа и люди» и «В мастерской природы».

Всего в книге 14 глав, само название которых сразу же вызывает интерес: «Дюжина легких задач», «Дюжина задач потруднее», «Задачи о часах», «Путевые задачи», «Неожиданные подсчеты», «Затруднительные положения», «Фокусы и игры» и другие. В методическом отношении книга построена по принципу последовательности изучения арифметики в школе, и задачи в ней подобраны по степени возрастания трудности.

Книга берет в плен буквально с первой же страницы.

«Говорят, каждый десятый мужчина на Руси – Иван, а каждый двадцатый – Петр. Если это верно, то попробуйте сосчитать, кого же на Руси больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?» (Оказывается, Иваны Петровичи составляют лишь 1/200 часть всего мужского населения.).

...Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в полтора раза шире – какая кружка вместительнее?

...Круглое бревно весит 150 килограммов. Сколько бы оно весило, будь вдвое толще, но втрое короче?

...На одной чашке весов лежит булыжник в два килограмма, а на другой – чугунная гиря такой же массы. Весы уравновешены, но если их осторожно опустить в воду, останутся ли они в равновесии?

(Тут же Перельман рассказывает, как Архимед определил массу короны, которую изготовил ювелир по заказу сиракузского правителя Гиерона. Оказалось, что золотых дел мастер похитил три килограмма золота, заменив его серебром.)

Очень интересна глава о часах. Она убедительно доказывает, что этот древний прибор для отсчета времени может стать чрезвычайно полезным объектом для математических вычислений и хитроумных загадок.

...Стрелки часов стоят одинаково по обе стороны от цифры VI – в котором часу это могло произойти?

...Сколько времени осталось до отхода поезда, обращается один пассажир к другому. «Извольте, – отвечает тот. – Пятьдесят минут назад было вчетверо больше минут после трех».

«Путевые» задачи, собранные в книге, интересны не только сами по себе, но и тем, что освежают в памяти школьную премудрость, связанную с механикой.

...Расстояние от Казани до Астрахани пароход преодолевает за 4 суток и 8 часов, а обратный путь – за 6 суток и 12 часов. А сколько времени понадобится плоту, чтобы пройти по Волге то же расстояние?

Предлагается объяснить, как с помощью часов измерить скорость поезда, подсчитывая при этом число ударов колес о стыки рельсов или телеграфные столбы (кстати, в те времена длина рельса была равна 8,5 метра, а расстояние между столбами – 50 метрам).

В главе «Неожиданные подсчеты» что ни задача, то парадокс.

...В книжном шкафу стояли три увесистых тома какого-то сочинения. Хозяин, когда осенью вернулся с дачи, обнаружил, что тома проедены книжным червем – от первой страницы первого тома до последней страницы третьего. Сколько всего страниц прогрыз червь, если в первом томе их было 400, во втором 440 и в третьем 470? Что же хитрого в этой задаче, скажете вы: надо все числа сложить, и ответ готов. А так ли? Оказывается, не так! Надо сначала подумать вот о чем: как стояли тома на полке. А что если они стояли так: первая страница первого тома примыкала к 440-й странице второго, а последняя страница третьего тома соседствовала с первой страницей второго тома? И тогда окажется, что червь прогрыз всего лишь 440 страниц тома, стоявшего в середине да еще четыре крышки переплетов – не более того!

(У задач подобного рода есть еще глубокий философский подтекст: число, математическая величина тогда приобретают смысл и значение, если за ними стоит какая-то реальность.)

Еще одна задача-западня. Какой высоты получится столб, если поставить один на другой все миллиметровые кубики, заключенные в одном кубическом метре?

(Подсчитайте, и вы подивитесь результату: 1 000 километров!)

Или вот задача о «французском» замке (который вовсе не французский, а американский, потому что изобрел его американец Иэль) позволяет перебросить мостик от элементарной арифметики к теории вероятностей. Она поясняет, сколько вариантов замка можно получить, меняя форму всего лишь пяти «цугаликов» (внутренних стерженьков). Оказывается, можно изготовить 100 тысяч модификаций замка – отсюда практически малая вероятность повторяемости ключей. В обычных же замках, говорит Перельман, на каждую дюжину приходится один-два одинаковых.

А вот над этой чисто логической задачей надо изрядно поломать голову. На стене – мужской портрет. Перед ним стоит мужчина. Сообразите: кто кому и кем доводится, если отец мужчины, чей портрет висит на стене, – родной сын мужчины, стоящего у портрета?..

В русском алфавите – если считать букву «ё» как «е» – 31 буква. Сколько слов можно из них составить при условии, что число букв в каждом слове не должно превышать 20? Ответ ошеломляет – 3120 слов! Их хватит, чтобы написать книг, для которых понадобится полка длиной от одного до другого края нашей Галактики. И тут же характерная для Перельмана «деталь»: он сообщает, что словарный запас Шекспира – как известно, один из наиболее богатых – насчитывает всего лишь 15 тысяч слов.

Или взять главу «Затруднительные положения». В ней они действительно затруднительные, если люди, которые в них попали, не в ладах с элементарной математикой.

К примеру, вот такой юридический казус из времен Древнего Рима. Женщина, муж которой погиб, ожидает ребенка. По закону полагалось: если родится мальчик, то оставшееся после мужа наследство 3 500 сестерций следует разделить поровну между матерью и сыном. Если же родится девочка, мать должна получить две трети. Но судьбе было угодно, чтобы родилась двойня – мальчик и девочка. Как в таком случае поделить наследство?

Завершает эту удивительную книгу глава, в которой собраны математические примеры из страны сказок – народных и литературных.