Создание основных теорем строительной механики

Достижения физики и математики в первой половине XIX в. подготовили прочную основу для дальнейшего развития технических наук. В 1870-1880 гг. в трудах ученых различных стран были открыты новые возможности коренного улучшения расчетов инженерных сооружений. Теорема Пауссона о работе упругих сил, опубликованная в 1833 г., была исходным пунктом, например, для теоремы Клапейрона о потенциальной энергии системы. В ней Клапейрон установил новые представления о работе упругих сил. Он доказал, что сумма произведений внешних сил на перемещениях по направлению этих сил в точках их приложения равна двойной величине энергии напряжения тела. Эта теорема была обнародована Ламе в 1852 г.

Вскоре последовало дальнейшее углубление этой идеи. Менебреа в 1857 г. показал, что когда упругая система находится в равновесии под действием внешних сил, то работа, развиваемая этими силами вследствие сжатия или растяжения стержней, соединяющих различные точки, будет минимальной.

Теорема Клапейрона заинтересовала многих ученых, так как строительные конструкции рассчитывались сложными приемами, в то время как, например, в фермах совершается лишь простая работа упругих сил.

На такое положение в расчетах ферм в 1864 г. обратил внимание Дж. К. Максвелл. Однако долгое время теорема Клапейрона не применялась в расчетах, пока в 1886 г. А. Кастилиано не опубликовал свои исследования о равенстве работ внешних и внутренних сил в фермах. Свою теорему он записал так: если работа деформации упругого тела или системы выражена в функции перемещений, то полученная формула в частных производных относительно этих перемещений соответствует данной силе; если, с другой стороны, работа деформации упругого тела или системы выражена в функции внешних сил, то это дает частную производную по силе относительно перемещения в точке ее приложения. А. Кастилиано обобщил эту теорему на другие виды нагрузок, в частности на пары сил.

К. Максвелл в 1864 г. по-новому сформулировал теорему о взаимности перемещений, рассматривая систему под действием единичной силы. Он писал, что удлинение стержня ВС, вызванное единичным усилием в стержне ДЕ, всегда равно удлинению стержня ДЕ, вызванному единичным усилием в стержне ВС.

Эта теорема стала поворотным пунктом в развитии представлений о поведении упругих тел под нагрузкой.

Теорему Максвелла о взаимности перемещений развил Е. Бетти в 1872-1873 гг. Он доказал, что если твердое упругое однородное тело, перемещения которого находятся в равновесии при действии двух систем сил, приложенных к поверхности тела, то сумма произведений компонентов сил первой системы на компоненты перемещений второй системы равна сумме произведений компонентов сил второй системы на перемещения первой. Обобщив эту теорему на деформации упругих тел при любых нагрузках и влияниях температуры, Бетти расширил представление о свойствах упругого тела при любых внешних воздействиях.

Указанные теоремы, однако, не были еще приведены в состояние, пригодное для практического применения. В 1873 г. это сделал английский физик Рэлей. Он дал математическое обоснование теоремы взаимности перемещений и раскрыл ее статические возможности. Рэлей отнес изучаемую систему к независимым координатам и составил канонические уравнения равновесия для этой системы. Особенностью этих уравнений было то, что все коэффициенты при искомых усилиях были взаимны. Положив все силы в уравнениях равными нулю, кроме двух сил, Рэлей изучил систему из двух уравнений и доказал взаимность коэффициентов при силах. Рэлей при этом подчеркнул, что взаимность коэффициентов канонических уравнений отражает энергетическую сущность работы упругих сил системы.

Изучая теорему о потенциальной энергии системы, Рэлей математически обосновал положение Менебреа о минимуме работы сил системы. При этом он выяснил, что любое ослабление жесткости системы, уравновешенной данными силами, сопровождается увеличением потенциальной энергии деформации. Было также показано, что устранение связей в системе увеличивает ее потенциальную энергию.

История образования теорем строительной механики показывает, что все теоремы находятся в тесной связи и взаимной зависимости, так как их исходным началом является принцип возможных перемещений Ж. Лагранжа.

Теоремы Клапейрона и Кастилиано исходят из равенства работ упругих сил. Но Клапейрон работу внешних сил связал с энергией напряженного тела, а Кастилиано работу деформации системы определяет по направлению только одного желаемого воздействия, так как в случае взятия частной производной от работы всех сил по одной желаемой силе все остальные воздействия, через которые выражено искомое неизвестное, исчезают. Таким образом, теорема Кастилиано не только имеет сходство с другими теоремами, но также существенно от них отличается.

Между теоремами Максвелла и Бетти нет принципиальной разницы, они тесно связаны. Однако теорема Бетти обобщает теорему Максвелла и утверждает взаимность работ на основе взаимности перемещений.

Теоремы строительной механики имеют не только различия, но и сходства, которые их объединяют. Так, все теоремы в доказательствах пользуются единичными силами и исследуют каждое воздействие в отдельности. Вследствие этого предполагалось, что любое искомое неизвестное может быть представлено как сумма частных воздействий. Однако в дальнейшем было выяснено, что это не всегда возможно.

Авторы теорем оперировали не только отдельными силами и деформациями. У них одна сила вызывает группы перемещений в разных точках системы, а перемещение в одной точке системы возникает от группы сил, приложенных в ее разных точках. Эта особенность теорем привела к образованию понятий об обобщенных силах и обобщенных деформациях.

Исследователи строительной механики иногда утверждают, что теорема Максвелла была холодно встречена инженерами потому, что она очень кратко изложена, что к ней не даны графические иллюстрации и что английский журнал, в котором статья была напечатана в 1864 г., имел малую распространенность.

Эти соображения не убедительны. Теорема Максвелла о взаимности перемещений была хорошо известна не только в Англии, но и в Италии, Франции и России. Однако в Германии Мор, пришедший к тем же результатам, что и Максвелл, сообщает, что он узнал о теореме Максвелла лишь в 1883 г.

Новое "открытие" теоремы Максвелла Мором, как утверждают С. П. Тимошенко и А. С. Найлес, - событие маловероятное, так как Мор не отрицал своего знакомства с теоремой Бетти и работами Рэлея.

О. Мор дал практическое применение основных теорем строительной механики к реальным инженерным сооружениям. В 1874 г. он начал систематическое публикование своих работ по теории ферм. Почти все его исследования сопровождались числовыми примерами и таблицами. Мор исследовал статически неопределимые фермы и рассчитывал их путем удаления лишних стержней и заменой их действия единичными силами. Полученные Мором уравнения ничем не отличались от уравнений Максвелла.

Чтобы рассчитать ферму на двух опорах, Мор представил ее в виде простой балки и указал способ построения для нее эпюры моментов от некоторой фиктивной нагрузки. В 1881 г. Мор дал способ расчета ферм, который был впоследствии улучшен учеными разных стран и вошел в строительную механику под именем расчета по способу упругого центра.

В России в 1868 г. И. А. Евневич опубликовал содержательный труд, в котором сопротивление материалов и строительная механика рассматривались в связи с теорией упругости [69]. В этом труде были даны общие основы теории упругости твердых тел и выведены формулы для расчета деформаций, равновесия и движения тел. В книге Евневича собраны данные для расчета тел на сжатие и растяжение, изгиб и кручение, а также на сдвиг. Способы доказательств в этой книге приближались к современным решениям. Работа Евневича имела большое значение в развитии строительной науки в России.

И. А. Евневич занимался и практическим применением новых теорем строительной механики. В 1877 г. в "Известиях С.-Петербургского технологического института" он опубликовал небольшую, но важную статью, в которой были выведены формулы для расчета сооружений на основе начала наименьшей работы. Сославшись на Менебреа и пользуясь выкладками из своего труда, Евневич в простой форме дал данные для расчета различных конструкций. Всего Евневич предложил десять решений и подчеркнул, что начало наименьшей работы значительно упрощает вычисления при решении неизвестного вопроса, т. е. при решении статически неопределимых задач.

В 1871 г. В. П. Ермаков посвятил теории упругости небольшую, но содержательную работу [70]. В ней было показано, что теория упругости содержит выводы, пригодные не только для анализа упругих тел. Ими можно пользоваться для изучения тел жидких и газообразных. В. П. Ермаков исследовал колебания и равновесия тонких упругих стержней при конечных деформациях и указал условия, при которых перемещения и их производные являются конечными. Иначе говоря, он выяснил, какие тела бесконечно мало изменяют свои формы и какие подвержены при колебаниях конечным изменениям. Рассматривая равновесие и колебание тел с конечными и бесконечно малыми размерами, Ермаков дал более простое доказательство теории, чем Кирхгоф. Им был также решен вопрос о равновесии упругого цилиндра в более общей форме, чем у Сен-Венана.

В Германии Винклер, а в Англии Рэлей в 70-х годах XIX в. продолжали исследования стержневых систем различных очертаний. Для расчета ферм Винклер пользовался веревочным многоугольником, т. е. он шел более легким путем, и в Германии немногие занимались развитием строительной механики на базе ее основных теорем.

В 1877 г. Рэлей опубликовал книгу "Теория звука". В этом труде он уделил много внимания идее обобщенных сил и обобщенных перемещений, блестяще иллюстрировал примеры взаимности перемещений, подтверждая надежность своих теорем для расчета сооружений.

Влияние книги Рэлея на развитие строительной науки во всех странах было огромным. В России в 1883-1884 гг. В. Л. Кирпичев, ссылаясь на книгу Рэлея "Теория звука", изложил доказательство теоремы взаимности [71]. В. Л. Кирпичев применил теорему Рэлея к расчетам балок, арок и цепей.

Еще раньше, в 1877 г., Г. Е. Паукер опубликовал большую статью о началах возможных перемещений. Однако работа Г. Е. Паукера опиралась на исследования начала возможных перемещений М. В. Остроградского и не вносила новых представлений в строительную механику.

Наиболее удачно и в изящной форме применение начал наименьшей работы к решетчатым фермам дал X. С. Головин [72]. Он рассмотрел стержневые системы с шарнирами в узлах и отметил, что каждая внутренняя сила встречается в расчетах два раза, так как они действуют в одном стержне, примыкающем к двум узлам, и записал условие работы стержня. Он вывел для этого формулу и исследовал величину работы стержня, чтобы получить относительное удлинение. Дав формулу полной работы системы, Головин писал, что при возможных изменениях напряжений частей системы величина полной работы сил упругости всей системы не изменяется. Головин обратил внимание инженеров на теорему наименьшей работы, поскольку она дает возможность получения точного расчета упругих систем наиболее быстрым способом. Он не советовал создавать конструкции без расчетов или с расчетами по методу наименьшего сопротивления, при котором получаются ошибочные решения.

X. С. Головин указал, что стыки, заклепки и т. п., т. е. все то, что инженер считает неизменным и прочным, на деле обжимаются и смещаются, изменяясь против расчетных предположений. Головин рекомендовал применять конструкции самые простые, избегая сложных решеток и схем в фермах и арках.

В "Инженерном журнале" часто писали о применении теоремы наименьшей работы к конкретным конструкциям. В. Л. Кирпичев, например, указывал, что всякий раз, когда желательно применять начало возможных перемещений, нужно выяснять, какого рода перемещения следует считать возможными [73].

Работы И. А. Евневича, В. Л. Кирпичева, X. С. Головина и других показывают, что ученые и инженеры России не отставали от общего уровня знаний в области строительства. Во многих случаях приложения теории к строительству они шли впереди зарубежных исследователей, создавали рабочие формулы, вытекающие из принципов теории строительной науки, и тем самым вносили новые идеи в инженерные конструкции и обеспечивали сооружения надежными методами расчета.