ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЕДИНГЕРА

Эрвин Шредингер (1887—1961) в 1911 году окончил Венский университет, где были еще живы традиции Доплера, Физо, Больцмана и весь дух классических времен физики: основательность при изучении явлений и неторопливый к ним интерес. В 1925 году это был уже немолодой профессор Цюрихского университета, сохранивший, однако, юношеское стремление понять самое главное в тогдашней физике: «Как устроен атом? И как в нем движутся электроны?»

В конце 1925 года в одной из статей Эйнштейна Шредингер прочел несколько слов похвалы в адрес де Бройля и его гипотезы. Этих немногих сведений ему оказалось достаточно, чтобы поверить в гипотезу де Бройля о волнах материи и развить ее до логического конца (что всегда трудно, и не только в науке).

Ход его рассуждений легко понять, по крайней мере, теперь, почти полвека спустя. Прежде всего, он вспомнил оптико-механическую аналогию Гамильтона. Он знал, что она доказана лишь в пределе геометрической оптики — тогда, когда можно пренебречь волновыми свойствами света. Шредингер пошел дальше и предположил: оптико-механическая аналогия остается справедливой также и в случае волновой оптики. Это означает, что всегда любое движение частиц подобно явлению распространения волн.

Как и всякое глубокое открытие, гипотеза Шредингера ниоткуда логически не следовала.

Но, как всякое открытие, логические следствия она имела.

Прежде всего, если Шредингер прав, то движение частиц Должно обнаруживать волновые свойства в тех областях пространства, размеры которых сравнимы с длиной Волны этих частиц. В большой степени это относится и к движению электрона в атоме: сравнив формулы де Бройля (λ = h/mv) и Бора m (λ r = h/2π), легко усмотреть, что диаметр атома d = λ/π примерно в три раза меньше, чем длина волны электрона λ. Но эта длина — единственная, которую мы вспоминаем, когда говорим о размерах электрона в атоме. Теперь становится очевидным, Что представить его в атоме частицей невозможно, ибо тогда придется допустить, что атом построен из таких частиц, которые больше его самого. Отсюда сразу, и немного неожиданно, следует уже известный нам из предыдущей главы постулат Гейзенберга: не существует понятия траектории электрона в атоме.

Действительно, не может нечто большее двигаться внутри чего-то меньшего, и притом еще по какой-то траектории тогда не существует и проблемы устойчивости атома, так как электродинамика запрещает электрону двигаться в атоме лишь по траектории и не отвечает за явления, которые происходят при других типах движений. Все это означает, что в атоме электроны существуют не в виде частиц, а в виде некоторых волн, смысл которых мы поймем немного позже. А пока ясно только одно: какова бы ни была природа этих электронных волн, их движение должно подчиняться волновому уравнению. Шредингер нашел это уравнение. Вот оно:

[(d² ψ)/(d x) + 2m/(ħ²)][Е - U(x)]ψ = 0

Волновая механика

Для тех, кто видит его впервые, оно абсолютно непонятно и может возбудить лишь любопытство или чувство инстинктивного протеста, причем последнее без серьезных оснований.

Волны

В самом деле, представленный на этой странице рисунок столь же непонятен, как и уравнение Шредингера, однако мы принимаем его без внутреннего сопротивления. Мы совсем успокоимся, узнав, что это просто герб города Парижа, в котором мы никогда не были и, быть может, никогда не побываем. Только самые дотошные станут допытываться, почему он выглядит именно так, а не иначе. Как и в уравнении Шредингера, в этом гербе каждая черта и каждый символ исполнены смысла. Вверху — королевские лилии, которые появились в геральдических знаках Франции уже в конце V века — после победы Хлодвига над гуннами у берегов реки Ли. (По преданию, воины Хлодвига, возвращаясь домой, украсили свои шлемы и щиты цветами белых лилий «ли-ли», по-русски «белый-белый»). Внизу герба — корабль, похожий очертаниями на Ситэ — остров посреди Сены, где в древности обитало племя паризиев, по имени которых назван Париж. А форма герба напоминает парус — в память об основном занятии древних обитателей Парижа. Как видите, понять герб несложно, однако только жителям города он по-настоящему близок.

Подойдем к уравнению Шредингера точно так же. Примем его вначале просто как символ квантовой механики, как некий герб квантовой страны, по которой мы теперь путешествуем, и постараемся понять, почему он именно таков. Некоторые штрихи в этом гербе нам уже понятны: m — это масса электрона, ħ — постоянная Планка h, деленная на 2π, Е — полная энергия электрона в атоме, U(x) — его потенциальная энергия, х — расстояние от ядра до электрона. Несколько сложнее понять символ второй производной d²/dx², но с этим пока ничего нельзя поделать, вначале придется просто запомнить, что это символ дифференциального исчисления, из-за которого уравнение Шредингера не простое, а дифференциальное.

Самое сложное — понять, что собой представляет ψ-функция (читается: пси-функция). Это действительно не просто, и вначале даже сам Шредингер истолковал неправильно ее смысл. Мы также поймем его несколько позднее, а сейчас важно усвоить следующее: несмотря на свою необычность, пси-функция все же как-то представляет движение электрона в атоме. По-другому, чем матрицы Гейзенберга {X_nk} и {Р_nk}, но все-таки представляет, и притом хорошо. Настолько хорошо, что с ее помощью многие задачи квантовой механики можно решать значительно проще и быстрее, чем с помощью матриц Гейзенберга.

Физики довольно быстро оценили преимущества волновой механики: ее универсальность, изящество и простоту, и с тех пор почти забросили механику матричную.

Однако победа далась не сразу.