25.09.2007

Венгерские математики создали неваляшку без смещения центра тяжести

Неваляшка обладает весьма интересными качествами. Так у неё есть только одно положение устойчивого равновесия и только одно положение неустойчивого равновесия (на голове). Почти любое другое тело, сколь бы сложным оно ни было, можно устойчиво поставить несколькими способами.

Создание гомогенного тела, обладающего свойствами неваляшки - это настоящий вызов математическому уму. И два венгерских математика взялись за решение этой нетривиальной задачи: Габор Домокош из Будапештского университета технологий и экономики и Петер Варкони, работающий сейчас в Принстонском университете.

Достаточно ли одной только специальной формы объекта, чтобы он самостоятельно поднимался после опрокидывания? Ученые начали с разрешения этой задачки для двухмерных объектов - они вырезали из фанеры сложные фигуры, ставили их на ребро и смотрели, как они ведут себя при опрокидывании.

В конце концов, экспериментаторы смогли математически доказать, что у любой плоской формы есть, по меньшей мере, две точки устойчивого равновесия и, как минимум, две точки неустойчивого равновесия.

Но Домокош и Варкони намеревались создать усовершенствованный вариант неваляшки, а значит, нужно было подумать о трёхмерных объектах.

Они попробовали распространить свою "двухмерную" теорию на более высокие измерения и поняли, что трёхмерный самовосстанавливающийся объект, вероятно, может существовать. Но у него будет уже только одна точка устойчивого равновесия и только одно положение неустойчивого равновесия. Но как должно выглядеть такое тело?

Сначала, в поисках ответа на свой вопрос, исследователи обратились к природе. Так Домокош проверил на равновесие две тысячи камушков на берегу моря, но ни один экземпляр гальки не обладал нужными свойствами.

Но искомый объект всё же был построен. Сначала - чисто математически. Затем Домокош и Варкони составили уравнения, по которым было вырезано уникальное тело.

Оно действительно восстанавливало единственное своё устойчивое положение при опрокидывании и переворачивании каким угодно образом. И у него действительно точка устойчивого равновесия была всего одна, и имелась лишь одна точка неустойчивого равновесия.

Объект назвали "Gomboc". Осенью 2006-го статья о Gomboc была опубликована на страницах престижного журнала Mathematical Intelligencer, как пишет Домокош, "впервые с 1979 года, со времени появления кубика Рубика, венгерское изобретение снова попало в этот журнал".

После изготовления Gomboc'а Домокош и Варкони быстро нашли очень похожий объект в природе. Им оказалась индийская звёздчатая черепаха, отличающаяся весьма необычным панцирем.

Правда, в реальности панцирь звёздчатой черепахи не столь совершенен, как Gomboc. Если черепаха опрокинется на спину, она может перевернуться обратно только после небольшого толчка ногами. Зато потом процесс быстро завершается естественным образом, и в этом отношении данные черепахи выгодно отличаются от своих собратьев других видов.

На этом, впрочем, загадки тел-неваляшек не были исчерпаны. Исследователи обратили внимание на то, что у Gomboc'а грани имеют сложную, скруглённую форму. Что и придаёт ему столь необычные свойства. Но возможно ли построить гомогенное (без грузов внутри) тело, чтобы у него были только плоские грани, и чтобы оно также вставало после опрокидывания?

Венгерские экспериментаторы не смогли вычислить такой объект, хотя по их предположениям, такое тело вполне может существовать. Они объявили о призе тому, кто отыщет такую необычную форму. $10 тысяч, делённые на число граней искомого тела. Такова награда.

Но Домокош и Варкони знают, что почти ничем не рискуют. По их оценке, такое тело, если оно вообще возможно, должно обладать тысячами граней. Так что приз победителю составит несколько центов. Но ведь, на самом-то деле, искателей экзотической самоуравновешивающейся формы должен привлечь вызов интеллекту.

Источники:

1. MEMBRANA