"Воображаемая геометрия" Н. И. Лобачевского

Издавна математика признавалась самой совершенной, самой точной из всех наук. А геометрия считалась венцом математики как по незыблемости ее истин, так и по безукоризненности ее суждений.

И вот русский ученый, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский создает новую геометрическую систему, которую он сам назвал "воображаемой". В архивах университета сохранился документ - сопроводительная записка Лобачевского к докладу, который он представил в физико-математическое отделение. Записка начиналась словами: "Препровождаю сочинение мое под названием "Сжатое изложение начал геометрии о параллельных линиях". Желаю знать мнение о сем ученых, моих сотоварищей". На документе дата - "7-го февраля 1826 г.", внизу - "Слушано 1826 г. 11 февраля".

Итак, 11 февраля 1826 г. в Казани впервые в мире было публично доложено о рождении совершенно новой геометрии, получившей название неэвклидовой.

...Свыше двух тысяч лет в математике господствовала геометрия Эвклида. Но в этой геометрии есть так называемый пятый постулат о параллельных, равносильный утверждению, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам. Постулат этот не представлялся математикам столь очевидным, как другие, и они упорно пытались доказать его. Вот неполный список имен ученых, которые трудились над этой проблемой: Аристотель, Птолемей, Прокл, Лейбниц, Декарт, Ампер, Ла-гранж, Фурье, Бертран, Якоби.

Печальный итог исканиям подвел Гаусс. Он писал: "В области математики найдется мало вещей, о которых было бы написано так много, как о проблеме в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий. Редко проходит год, в течение которого не появилась бы новая попытка восполнить этот пробел. И все же, если мы хотим говорить честно и открыто, то нужно сказать, что, по существу, за 2000 лет мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Эвклид. Такое откровенное и открытое признание, на наш взгляд, более соответствует достоинству науки, чем тщетные попытки скрыть этот пробел, восполнить который мы не в состоянии бессодержательным сплетением призрачных доказательств".

Н. И. Лобачевский

Словом, стремление доказать пятый постулат сравнивают с исступленным желанием найти "философский камень" в средние века или с бесчисленными попытками создать "вечный двигатель". Геометров не устраивало "темное пятно" в "Началах" Эвклида, а решения не находилось.

Анализируя причины многочисленных неудач своих предшественников, Лобачевский пришел к выводу, что все попытки доказать пятый постулат обречены на неудачу. После длительных поисков русский ученый пришел к удивительному открытию: помимо геометрии Эвклида, существует другая, построенная на отрицании пятого постулата. Лобачевский назвал ее "воображаемой геометрией".

Привычные геометрические представления, законы обычной геометрии здесь заменены новыми.

В геометрии Лобачевского нет подобных фигур; сумма углов треугольника - меньше двух прямых, в ней существует зависимость между углами и длиной сторон треугольника, перпендикуляры к прямой - расходятся и т. д. А пятый постулат Эвклида о параллельных заменен антипостулатом: через указанную точку можно провести множество прямых, не пересекающих данную.

Английский геометр Клиффорд назвал Лобачевского Коперником геометрии. Подобно тому как Коперник разрушил вековечный догмат о неподвижности Земли, так и Лобачевский разрушил заблуждение о неподвижности единственно мыслимой геометрии.

Еще более высокую оценку подвигу русского математика дал советский ученый В. Каган. Он писал: "Я беру на себя смелость утверждать, что легче было двинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение".

...Свои мысли о новой геометрии и доложил "сотоварищам" Лобачевский. Но мир не содрогнулся, не пришел в удивление, не восхитился. Доклад слушали невнимательно, никакого обсуждения не было; собравшиеся ничего не поняли. Более того, слушатели - а им посчастливилось узнать о рождении новой науки из уст ее первооткрывателя - не сделали даже попытки что-либо понять. А ведь речь шла о необычном, почти фантастическом строении мира. Решили, что это бредни, лишенные всякого смысла. Для проформы трем профессорам было поручено изучить доклад, чтобы определить его значение.

Комиссия не дала никакого отзыва, а само сочинение - первый в мире документ неэвклидовой геометрии - было утрачено и не найдено до сих пор. С этого момента и до конца своей жизни Лобачевский у себя на родине не встречал понимания. Все его работы подвергались резкой критике, насмешке и издевательствам. В России он так навсегда и остался непризнанным ученым, "выживающим из ума чудаком", "известным казанским сумасшедшим".

Первая страница обложки издания (оттиска) сочинения Лобачевского 'Воображаемая геометрия'. Казань, 1835 г.

И несмотря на это, всю свою жизнь Лобачевский неустанно совершенствовал "воображаемую геометрию". В 1829 г. Николай Иванович свои новые замечательные идеи - сложные и неожиданные - изложил в печати. В журнале "Казанский вестник" появился его мемуар "О началах геометрии". Около трети этой работы, как отмечал Лобачевский, "извлечено сочинителем из рассуждения", читанного в заседании отделения 11 февраля 1826 г.

Мемуар был изложен чрезвычайно сжато, конспективно, поэтому понять сущность новых идей было нелегко. И сочинение не только не нашло признания, но было встречено с нескрываемой иронией. Пример тому - отзыв академика Остроградского: "Автор, по-видимому, задался целью написать таким образом, чтобы его нельзя было понять. Он достиг этой цели: большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видел ее...". Остроградский - крупный по тому времени ученый - и впоследствии неоднократно выступал с нападками на Лобачевского.

Начало мемуара Лобачевского - в журнале 'Казан-ский вестник'

Вскоре и в печати появился резкий памфлет на сочинение казанского геометра. В 1834 г. в журнале "Сын Отечества" увидела свет анонимная статья: "О началах геометрии, соч. г. Лобачевского". Это - грубый пасквиль, с резкими личными выпадами. По мнению рецензента, книга принесла бы не много чести и приходскому учителю. "Если не ученость, то, по крайней мере, здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой Геохметрии нередко недостает и сего последнего". Выпад был столь неприличен, что министр народного просвещения Уваров распорядился поместить в журнале "возражения на критику, какие сделает сочинитель Геометрии". Лобачевский опровержение написал, но оно не было напечатано.

Лобачевский пытается более пространно изложить свои идеи. И в 1835 г. в "Ученых записках Казанского университета" появляется второй его мемуар - "Воображаемая геометрия". Во введении автор так говорит о своем первом труде: "В тесных пределах повременного сочинения не мог изложить я моего предмета со всею подробностью. Много предложений, помещенных без доказательства, одни выводы из продолжительных и довольно запутанных вычислений заставляют меня подозревать, что мое сочинение, казавшись с первого взгляда темным, предупреждало охоту заниматься им с некоторым вниманием и даже могло подать повод усомниться в строгости моего суждения и в верности выведенных заключений". Свою "Воображаемую геометрию" Лобачевский послал во французский журнал, где она была опубликована в 1837 г.

Напряженная творческая работа не прекращается. С 1835 по 1838 г. в "Ученых записках" публиковались "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных". Здесь изложены все основы геометрии по тому плану, который был вкратце намечен в первом мемуаре.

...Ученый мир молчал.

Было от чего прийти в отчаяние. Аналогичная история произошла с венгром Я. Бойяи. Он пришел к тем же выводам в геометрии, что и Лобачевский. Работа Бойяи была напечатана (1832 г.) под заголовком: "Приложение, содержащее науку о пространстве абсолютно истинную, независимую от истинности или ложности XI Аксиомы Эвклида, что априори никогда решено быть не может, с прибавлением, к случаю ложности, геометрической квадратуры круга". Сочинение было послано Гауссу, чтобы тот посмотрел на него "своими острыми, проницательными глазами". Гаусс оценил труд Я. Бойяи и в письме своему ученику сообщил, что Бойяи - "гений первой величины". Однако самому творцу сочинения Гаусс прислал очень сдержанный ответ. Великий математик утверждал, что результаты, к которым пришел Я. Бойяи, "почти сплошь совпадают с моими, которые я частично получил уже 30-35 лет тому назад".

Гаусс действительно много лет раздумывал над возможностью создания геометрической системы, отличной от эвклидовой, и многие идеи такой геометрии ему были ясны. И когда Я. Бойяи узнал, что его выводы совпадают с выводами Гаусса, он был сломлен...

Лобачевский же не сдавался. При этом надо иметь в виду, как много сил Лобачевский отдавал Казанскому университету. Здесь он был магистром, профессором (с 23-летнего возраста), деканом факультета и в течение почти двух десятилетий - ректором. Ректорство Лобачевского принесло Казанскому университету славу. Под руководством Лобачевского университет пополнился молодыми учеными, его библиотека стала одним из богатейших книгохранилищ страны, начали издаваться "Ученые записки". Лобачевский развернул широкое строительство университетских зданий и сам возглавил строительную комиссию. Кроме того, Лобачевский написал ряд сочинений по алгебре, математическому анализу, теории вероятности, механике, физике и астрономии.

Видя, что его работы остаются непонятыми, Лобачевский решил изложить свои основные идеи более доступно, более популярно. В 1840 г. в Берлине на немецком языке издано его сочинение "Геометрические исследования по теории параллельных линий". (Брошюра вышла в издательстве Г. Финка. В том же году в немецком библиографическом журнале была опубликована рецензия, которую Гаусс назвал весьма нелепой). Затем эта работа была переведена на английский и французский языки и неоднократно переиздавалась. Элементы неэвклидовой геометрии изложены в этом небольшом сочинении Лобачевского с удивительным искусством. Именно по этому сочинению математический мир прежде всего познакомился с идеями русского профессора.

Но не сразу...

Прежде чем перейти к дальнейшей судьбе "Воображаемой геометрии", созданной Лобачевским, добавим, что в конце жизни (уже слепой) он продиктовал свое последнее произведение - "Пангеометрию". Она была напечатана в "Ученых записках Казанского университета". Лобачевский умер непризнанным, его труды называли "казанским татарником", "чертополохом", "плодом больной фантазии". А. В. Буняковский, выпустивший труд "Параллельные линии", ухитрился не упомянуть имени Лобачевского, хотя этот труд содержал обзор доказательств пятого постулата. Это не просто забывчивость - Буняковский считал неэвклидову геометрию "развратом логики".

Итак, о судьбе... Первым из двух современников Лобачевского, оценивших в полной мере труды гениального геометра, был декан Казанского университета П. И. Котельников. Вопреки господствовавшему тогда мнению он не побоялся в торжественной речи "О предубеждении против математики" утверждать, что "изумительный труд" Лобачевского "рано или поздно найдет своих ценителей".

Вторым был "король математики" Гаусс. Еще в конце XVIII в. он пришел к тем же идеям, что и Лобачевский, но за всю свою жизнь так и не решился высказать их публично. По его словам, он опасался "крика беотийцев" и "ос, которые, поднимутся над головой" того, кто разрушит привычные устои. Конечно, Гаусс до конца понимал все сделанное Лобачевским. Именно Гаусс содействовал опубликованию некоторых работ Лобачевского, именно по его предложению русский ученый избран 23 ноября 1842 г. членом-корреспондентом Геттин-генского королевского общества наук.

Но самому Лобачевскому Гаусс не написал ни строчки.

В переписке с друзьями Гаусс отмечал, что чтение труда Лобачевского "Геометрические исследования" доставляет "совершенно исключительное наслаждение", что работа выполнена "с мастерством, в чисто геометрическом духе". Гаусс стал изучать русский язык, чтобы читать в подлиннике труды казанского ученого.

В одном из писем к своему другу, астроному Шумахеру, Гаусс писал: "Недавно я имел случай вновь просмотреть книжку Лобачевского ("Геометрические исследования"). Она содержит основы той геометрии, которая должна была бы иметь место и была бы строго последовательной, если бы Эвклидова геометрия не была бы истинной. Некто Швейкарт назвал такую геометрию звездной. Лобачевский называет ее воображаемой геометрией. Вы знаете, что я уже 54 года (с 1792) имею те же убеждения (с некоторым позднейшим расширением, на котором не хочу здесь останавливаться); по материалу я, таким образом, в сочинении Лобачевского не нашел ничего для себя нового; но в его развитии автор следует другому пути, отличному от того, которым шел я сам; оно выполнено Лобачевским с мастерством, в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на эту книгу, которая, бесспорно, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение".

Попалась брошюра Лобачевского "Геометрические исследования..." и Яношу Бойяи, который внимательно и придирчиво изучал каждую фразу этого замечательного произведения. Он пришел к выводу, что перед ним - оригинальный, глубокий и совершенно самостоятельный труд. Пораженный совпадением своих работ с открытием "московского математика", Янош подчеркнул, что сочинение Лобачевского "обнаруживает творческую гениальность автора". Венгерский ученый написал "Замечания по поводу "Геометрических исследований" Николая Лобачевского". К сожалению, замечания эти не попали в Казань, их обнаружили через много лет после смерти Лобачевского и Бойяи.

...После смерти Гаусса (1855 г.) была опубликована его переписка. Из нее-то ученые и узнали о высокой оценке "королем математики" трудов Лобачевского. Идеи Лобачевского стали популярны. Появились и первые пропагандисты новой геометрии. В Германии - профессор гимназии Бальтцер, во Франции - профессор университета в Бордо Гуэль, в Италии - Баттальини и Дженокки, в Америке - Гальстед, в Англии - Клиффорд, в Бельгии - Тилли.

Особенно должен быть отмечен Ж. Гуэль. Это он в 1866 г. издал на французском языке "Геометрические исследования по теории параллельных линий" Лобачевского, сопроводив их отрывками из переписки Гаусса и Шумахера. Благодаря Гуэлю сочинение Лобачевского обрело многих читателей. "Геометрические исследования..." стали тщательно изучать.

Книгой заинтересовался и талантливый математик Э. Бель-трами. Он-то и попытался доказать возможность геометрии Лобачевского. Бельтрами писал: "Мы старались дать себе отчет о результатах, к которым приводит учение Лобачевского, и затем мы попытались отыскать реальное основание для этого учения, прежде всего, чтобы признать этим самым необходимость нового порядка вещей и идей". Именно Бельтрами обнаружил, что на псевдосферических поверхностях осуществляется геометрия Лобачевского.

Упомянем еще английского математика и мыслителя У. Клиффорда. Он писал своему другу в 1870 г.: "Я достал Лобачевского. Это довольно несложно, просто Эвклид без порочного предположения, но прелестно, как одно вытекает из другого". Именно Клиффорду принадлежит сравнение Лобачевского с Коперником: "каждый из них произвел революцию в научных идеях".

Наконец, о Лобачевском заговорили и на родине. В 1868 г. в "Математическом сборнике" появилась статья, содержащая первый в России еще осторожный, но благоприятный отзыв о трудах Лобачевского. Это уже не "нелепые фантазии", это - "весьма замечательные, но мало известные труды нашего соотечественника".

Труды эти становятся все более известными в России. О геометрии Лобачевского рассуждает в "Братьях Карамазовых" Иван Федорович, обладающий, говоря словами Достоевского, "эвклидовским" характером ума: "Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму". Отсюда следует, что великий русский писатель имел отчетливое представление о новой геометрии.

В Россию со всех концов земного шара идут письма с просьбой прислать труды великого геометра. А между тем в Казани их почти не сохранилось.

И вот 16 февраля 1876 г. (через одиннадцать лет после смерти Лобачевского) декан физико-математического факультета М. А. Ковальский ходатайствует перед Советом университета об издании собрания геометрических сочинений ученого. Ковальский, в частности, отмечал, что труды Лобачевского "по своему значению и важности должны быть в России если не более, то по крайней мере не менее известны, чем за границей". Наконец в 1883-1886 гг. в нашей стране вышло "Полное собрание сочинений Н. И. Лобачевского" в двух томах. Сочинениям был предпослан краткий очерк его жизни. Труды замечательного геометра стали доступны русским и иностранным ученым. Правда, тираж издания составлял всего... 400 экземпляров, так что уже к концу прошлого века оно стало библиографической редкостью.

К 100-летию со дня рождения Лобачевского (1892 г.) его имя сделалось известным во всем мире. Крупнейшие математики Э. Бельтрами, Ф. Клейн, А. Пуанкаре, Софус Ли с предельной строгостью показали непротиворечивость геометрии Лобачевского, продолжили вслед за великим казанским геометром логическое обоснование математики.

Представления Лобачевского о пространстве и времени, об их связи с материей стали краеугольным камнем теории относительности. Учение о кривизне пространства также является развитием идей неэвклидовой геометрии. Эти идеи проникли в математику, в теорию функций, в механику, физику, космологию и другие отрасли знаний.

Такова судьба трудов по неэвклидовой геометрии Николая Ивановича Лобачевского - человека оригинальной мысли и огромной творческой воли, своими научными работами заслужившего право на бессмертие.

Что читать

Лобачевский Н. И. Поли. собр. соч. В 5-ти т. М.-Л., 1946-1961.

Лобачевский Н. И. Избр. тр. по геометрии. М., 1956.

Александров П. С. Лобачевский Н. И.-великий русский математик. М., 1956.

Каган В. Ф. Лобачевский. М., 1948.

Каган В. Ф. Лобачевский и его геометрия. М., 1955.

Колесников М. Лобачевский. М, 1965.

Кольман Э. Великий русский мыслитель Н. И. Лобачевский. М., 1956.

Ливанова А. Три судьбы. Постижение мира. М., 1969.

Лицис Н. А. Философское и научное значение идей Лобачевского. Рига, 1976.