ГЛАВА 7. ВОСЕМНАДЦАТЫЙ ВЕК

МЕХАНИКА

1. ПОПЫТКА СИНТЕЗА

Грандиозная попытка физического синтеза была предпринята Рожером Босковичем (1711-1787), одним из крупнейших ученых XVIII века. Изложение его взглядов имеется в нескольких работах, но наиболее полное представление дает его «Philosophiae naturalis theoria redacta ad unicam legem virium in natura existentium» («Теория натуральной философии, сведенная к единственному закону сил, существующих в природе»), опубликованная в 1759 г. и многократно переиздававшаяся.

Эта работа состоит из трех частей. В первой части излагается динамическая интерпретация материи. Согласно Босковичу, материя состоит из малых физических материальных точек, подчиняющихся трем законам ньютоновской динамики. Между каждыми двумя материальными точками существует сила притяжения или отталкивания, зависимость величины которой от расстояния носит колебательный характер. Точнее говоря, на значительных расстояниях две точки притягиваются, причем это притяжение по мере сближения частиц возрастает, пока не достигнет максимума, после чего начинает ослабляться до нуля и переходит затем в отталкивание, изменяющееся таким же образом при дальнейшем уменьшении расстояния; и такие изменения направления силы происходят несколько раз. Для самых малых расстояний всегда имеет место отталкивание, быстро возрастающее с уменьшением расстояния, что делает невозможным соприкосновение двух материальных точек при сколь угодно большой внешней силе.

Во второй и третьей частях своей работы Боскович показывает, как с помощью этой теории можно объяснить «все» механические и физические явления: непроницаемость, протяженность, соударения, тяжесть, сцепление, твердость, плотность, капиллярность, оптические явления, химические действия и что угодно еще. В XVIII веке работа Босковича хотя и вызывала восхищение, но все же последователей не имела. А в XIX веке она оказала большое влияние на физиков и рассматривается как предшественница взглядов современной атомистики.

Главное направление исследований XVIII века было совсем иным - скорее аналитическим, нежели синтетическим. Этот век характерен главным образом накоплением, систематизацией и критикой. Организовывались физические лаборатории, улучшалась конструкция приборов, подвергались проверке ранее полученные экспериментальные результаты, распространялись теории, выдвинутые в предшествующие столетия. По сравнению с предыдущим столетием это был значительно менее яркий период; он не дал ни одной великой новой идеи и не выдвинул ни одного ученого такого масштаба, как Галилей, Гюйгенс или Ньютон.

Однако результаты предвидения этих великих ученых XVII века высились подобно отдельным изолированным вершинам. Задачей XVIII века было связать эти отдельные научные достижения в одну связную и упорядоченную картину с помощью систематического применения методов математического анализа к исследованию физических явлений. Б этом - главный вклад этого века в дальнейшее развитие науки.

Если пытаться коротко сформулировать успехи физики XVIII века, то следует сказать: механика превратилась в этом столетии из геометрической в аналитическую; рядом с небесной механикой и в известном смысле как ее следствие возникла математическая физика; была усовершенствована термометрия и возникла калориметрия; утвердилась оптика Ньютона без заметного прогресса в этой области; во второй половине столетия возникла новая наука - наука об электричестве.

2. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Как мы уже говорили, механика Ньютона была изложена на геометрическом языке. Долгими и кропотливыми усилиями ученых XVIII века изложение постепенно было превращено из геометрического в аналитическое. Хотя принципов Ньютона достаточно для решения любой задачи, в процессе развития механики оказалось удобным ввести частные законы (сохранения движения центра тяжести, количества движения, момента количества движения, живой силы и т. д.) для более удобного рассмотрения некоторых классов задач. Из этих законов нам представляются заслуживающими специального рассмотрения принцип Даламбера и принцип наименьшего действия, которые мы и обсудим вкратце в этом и следующем параграфах.

Жан Батист Даламбер (1717-1783), пожалуй, более широко известен не как ученый, а как соратник Дени Дидро (1713-1784) по «Энциклопедии». И все же наибольшей его заслугой является вклад в динамику, а также ставший уже классическим «Traite de dynamique» («Трактат по динамике») (), появившийся в 1743 г. и вновь изданный самим автором в 1758 г. в расширенном и исправленном виде.

В «Предварительных замечаниях», предпосланных трактату, Даламбер излагает свою философию механики. Согласно Даламберу, механика относится к чисто рациональным наукам, т. е. к наукам, основанным на безусловно истинных принципах, а не на физических принципах или гипотезах. Как чисто рациональная наука, механика должна быть очищена от принципов, имеющих экспериментальное содержание. Она должна быть полностью основана на небольшом числе необходимых наиболее общих принципов. Уменьшить число принципов, расширить область их применения - такова программа механики Даламбера.

Принимая ньютоновские понятия пространства и времени, Даламбер критиковал закон пропорциональности силы ускорению, поскольку этот закон основан на туманной аксиоме, что причина пропорциональна следствию. С другой стороны, этот закон независимо от того, верен он или неверен, является излишним, потому что может быть заменен другим законом, доложенным уже автором Парижской Академии наук в 1742 г. Даламбер рассмотрел общий случай механической системы со связями и показал, что должна существовать эквивалентность между реальными силами, приложенными к системе, и силами, которые были бы необходимы, если бы связей не было, чтобы система совершала то же самое движение. Если написать соответствующее условие равновесия - в этом и состоит «принцип Даламбера», - то силы действия связей, вообще говоря неизвестные, оказываются исключенными. Отсюда следует, что каждая задача динамики может быть сведена в некотором смысле к задаче равновесия, т. е. к статике.

В действительности этот принцип был применен еще в 1703 г. Якобом Бернулли (1054-1705) при рассмотрении физического маятника и выводится из ньютоновской механики. Заслуга Даламбера состоит в том, что он увидел необычайную плодотворность этого принципа и поэтому основал свою динамику на этом принципе, принципе инерции и принципе параллелограмма сил. Из множества задач, решенных Даламбером таким способом, упомянем задачу о столкновении, решенную им без применения теоремы о живой силе, и ставшие знаменитыми расчеты (1749 г.) предварения равноденствий и нутации земной оси, хотя оба эти расчета и были выполнены ранее (1745 г.) Эйлером без применения принципа Даламбера.

3. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Принятие ньютоновской тео рии света, требовавшей большей скорости распространения в более плотной среде, неизбежно должно было привести к возобновлению критики принципа Ферма, который, наоборот, предполагал меньшую скорость распространения в более плотной среде. После первых критиков, о которых мы упоминали в гл. 5, § 18, и Лейбница (1682 г.), отвергавшего принцип Ферма на том основании, что, хотя природа и действует всегда наиболее легкими путями, они отнюдь не самые короткие и не самые быстрые, в XVIII веке в полемику включился Пьер Луи Моро де Мопертюи (1698-1759), бывший с 1745 по 1753 г. президентом Физического отделения Берлинской Академии наук.

В своем докладе 1740 г. Парижской Академии наук и более полно в следующем докладе, зачитанном в 1744 г., под названием «Accord de differentes loix de la Nature qui avoient jusqu'ici paru incompatibles» («Согласование различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми»), Мопертюи, неточно воспроизводя мысль Ферма о распространении света, заявляет, что ньютоновская теория полностью разрушила все построения Ферма. В противовес Ферма он хочет найти в природе другой принцип экономии, совместимый с ньютоновским законом сохранения. И интересно, что это ему удалось, причем с помощью чисто метафизических рассуждений.

Почему при преломлении света, раз уж он не идет по кратчайшей линии - по прямой, он должен идти по быстрейшему пути? Почему время должно иметь преимущество перед пространством? Нет, свет не идет ни по кратчайшему, ни по быстрейшему пути.

«Он выбирает путь, дающий более реальную экономию: путь, по которому он следует, - это путь, на котором величина действия минимальна» (Memoires de l'Academie Royale des Sciences, 1744, p. 423).

А под количеством действия Мопертюи понимал произведение количества движения тела на пройденный им путь. Отсюда легко показать, что если свет распространяется из точки А одной среды в точку В другой так, что на его пути действие минимально, то преломление на границе раздела двух сред происходит по закону Декарта, причем большая скорость соответствует более преломляющей среде. Мопертюи показал также, что при прямолинейном распространении и при отражении свет тоже подчиняется принципу наименьшего действия.

В одном из последующих докладов, опубликованных в 1747 г. Берлинской Академией наук, Мопертюи применяет принцип наименьшего действия также к случаю прямого соударения двух тел. Обобщение это совершенно тривиальное, тем не менее его успех натолкнул Мопертюи на провозглашение общего принципа: когда в природе происходит какое-нибудь изменение, необходимое для этого изменения количество действия всегда имеет возможно меньшую величину.

За провозглашением этого принципа последовала полемика, в которой поднимались не столько физические, сколько метафизические вопросы (конечная причина, существование бога). Начата она была Самуэлем Кёнигом (1712-1757), в ней принимали участие (как противники Мопертюи) Вольтер, Мальбранш, Вольф и другие. Между прочим, оспаривался приоритет Мопертюи, автором принципа наименьшего действия считали Эйлера. Но сам Эйлер отрицал это, хотя именно благодаря ему принцип наименьшего действия, очищенный от метафизики, стал применяться на практике. Именно Эйлер показал универсальную приложимость принципа, начав с 1744 г. применять его для решения различных задач механики (движение снарядов, центральное движение и т. д.). В действительности название принципа «наименьшего» действия неправильное, как и название принципа «наименьшего» времени Ферма. В некоторых случаях к серьезному ущербу для мудрости Творца, призванной оправдать этот принцип, действие (и соответственно время) не минимально, а максимально. Но, несмотря на возражения Лагранжа, а позднее Гамильтона, термин «наименьший» или «минимальный» остались в учебниках физики до, наших дней.

4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В 1736 г. вышла работа «Mechanica, sive motus scientia analytice exposita» («Механика, или наука о движении, аналитически представленная»), само название которой уже является программой. Автором ее был Леонард Эйлер (1707-1783) - одна из наиболее выдающихся фигур в науке XVIII века. Он поставил себе целью изложение механики как рациональной науки, основанной на небольшом числе определений и аксиом, чтобы законы механики были не только верны, но и «необходимо верны».

Динамика Эйлера основана на первичном понятии силы и на сравнении сил до их статическому действию. Эйлер исходил из постулата (полагая, чта доказал его), согласно которому эквивалентность сил или правило их сложения в статике остаются справедливыми и в динамике - традиционное представление, идущее еще от Галилея. В изложении особый упор делается прежде всего на импульс силы и проводится в основном аналитическое рассмотрение большого числа задач движения свободной и связанной точек, находящихся на линии или на поверхности, в пустоте или в среде с сопротивлением. С этого трактата началось превращение механики из геометрической науки в аналитическую, превращение, которое, как мы видели, была продолжено в трактате Даламбера.

Титульный лист второго издания 'Теории движения твердых тел' Эйлера (Грей-февальд, 1790)

За динамикой точки последовала в 1760 г. динамика твердого тела,, изложенная в «Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum» («Теория движения твердых или жестких тел»). В этом труде Эйлер развил теорию» моментов инерции и исследовал движение свободного твердого тела. Он пошел дальше исследования центрального движения, принятого со времен Ньютона, и рассмотрел в общем виде произвольное вращательное движение и движение под действием произвольных сил, подготовив, таким образом, почву для современной кинематики и кинетики. В частности, вызывает восхищение в значительной части справедливое и сейчас аналитическое исследование движения волчка, в котором используются понятия момента и осей инерции.

После динамики твердого тела аналитическое представление получила также гидродинамика в работах «Theorie de la figure de la Terre tiree des prin-cipes de Vhydrodynamique» («Теория фигур Земли, основанная на гидродинамических принципах» )Клеро (1743 г.); «Hydrodynamica, sive de viribus et moti-bus fluidorum commentarii» («Гидродинамика, или комментарии о силах и движениях жидкостей») Даниила Бернулли (1738 г.); в работах Даламбера по-гидродинамике: «Traite de Vequilibre et du mouvement des fluides» («Трактат о равновесии и движении жидкостей»), 1744 г., «Essai d'une nouvelle theorie de la resistance des fluides» («Опыт новой теории сопротивления жидкостей»), 1752 г.; в замечательных мемуарах Эйлера «Principes generaux du mouvement des fluides» («Общие принципы движения жидкостей»), представленных Берлинской Академии в 1755 г.; в вышедшем в 1766 г. «Memoire sur Vecoulement des fluides par les orifices des vases» («Мемуар об истечении жидкостей через отверстия в сосудах») француза Жана Шарля Борда (1733-1799) и, наконец, в двух важных трактатах по механике французского революционного генерала Лазара Карно (1753-1823): «Z/'Essai sur les machines en general» («О машинах вообще»), вышедшем в 1783 г., и «Principes generaux de Vequilibre et du mouvement» («Общие принципы равновесия и движения») издания 1803 г.

Работы XVIII века, развивающие рациональную механику, подытожены в «Mechanique analytique» («Аналитическая механика») Лагранжа (1736-1813), опубликованной впервые в 1788 г. В. этом трактате из единых принципов развиваются все разделы механики - статика и гидростатика, динамика и гидродинамика. Принимая понятия и постулаты Галилея, Гюйгенса, Ньютона, изучив труды своих современников, Лагранж ставит перед собой цель - слить воедино эти принципы и вывести из них общий аналитический метод решения механических задач. В «Предисловии» Лагранж так говорит о своих целях:

«Мне предстоит свести теорию механики и искусство решения относящихся к ней задач к общим формулам, простая детализация которых дает все уравнения, необходимые для решения любой задачи... С другой стороны, этот труд будет полезен также тем, что он объединит и представит с единой точки зрения различные принципы, применяемые и сейчас для облегчения решения механических задач, покажет их связь и взаимозависимость и упорядочит их так, чтобы можно было судить о степени их точности и общности» (Mechanique analytique, в книге Oeuvres de Lagrange XI, Paris, 1888, p. И. (Есть русский перевод: Ж. Лагранж, Аналитическая механика, т. I, II, М., 1950.)).

Но главной заботой Лагранжа было исключение из рассмотрения всяких ссылок на геометрические представления:

«В этой работе вы не найдете рисунков. Излагаемые мною методы не нуждаются ни в построениях, ни в рассуждениях геометрического или механического характера, а лишь в алгебраических операциях, подчиняющихся строгим и однообразным правилам. Тот, кто любит математический анализ, с удовольствием увидит, что механика становится новым разделом анализа, и будет мне благодарен за такое расширение области его применения» (Там же, р. 11-12).

Математический талант Лагранжа и ясность идей позволили ему достичь намеченных целей в почти совершенном труде по классической механике; рассмотрение основано на принципе Даламбера в сочетании с принципом виртуальных перемещений и приводит к известным динамическим уравнениям Лагранжа и к основным уравнениям динамики систем, лежащим в основе механики и современной классической физики.

5. АКУСТИКА

После экспериментальных исследований Савёра (см. гл. 6, § 8) к математическому рассмотрению задачи о колеблющейся струне в 1715 г. приступил английский математик Брук Тэйлор (1685-1731), положив этим начало математической физике в собственном смысле слова. Ему удалось рассчитать зависимость числа колебаний струны от ее длины, веса, натяжения и местного значения ускорения силы тяжести. Эта задача сразу же стала широко известна и привлекла внимание почти всех математиков XVIII века, вызвав долгую и плодотворную дискуссию. Ею занимались среди прочих Иоганн Бернулли и его сын Даниил Бернулли, Риккати (1709-1790) и Даламбер. Последний нашел уравнения в частных производных, определяющие малые колебания однородной струны, и проинтегрировал их методом, применяемым и поныне. Но наиболее существенный вклад внес Эйлер. Ему мы обязаны полной теорией колебаний струны, начало построению которой было положено еще в 1739 г. в его труде «Tentamen novae theoriae musicae» («Опыт новой теории музыки») и продолжалось в многочисленных последующих докладах. В частности, из теории Эйлера вытекало, что скорость распространения волны по струне не зависит от длины волны возбуждаемого звука.

Эйлер производил также теоретические исследования колебаний стержней, колец, пластин, колоколов, но полученные результаты не совпали с результатами экспериментальной проверки, предпринятой немецким физиком Эрнестом Хладни (1756-1827), которого считают отцом экспериментальной акустики. Хладни первым точно исследовал колебания камертона и установил (1796 г.) законы колебаний стержней.

Фактическое объяснение эха, явления довольно капризного, также принадлежит Хладни, по крайней мере в существенных частях. Ему мы обязаны и новым экспериментальным определением верхней границы слышимости звука, соответствующей 22 000 колебаний в секунду. Эти измерения, многократно повторяемые физиками до сих пор, весьма субъективны и зависят от интенсивности и характера звука. Но особенно известны опыты Хладни (1787 г.) по исследованию колебаний пластин, при которых образуются красивые «акустические фигуры», носящие название фигур Хладни и получающиеся, если посыпать колеблющуюся пластину песком (Савар заменил песок порошком ликоподия). Эти экспериментальные исследования поставили новую задачу математической физики - задачу о колебаниях мембраны.

Хладни начал исследования продольных волн в твердых телах и сопоставил продольные и поперечные колебания стержня при различных способах возбуждения (ударом, трением и др.). Исследования продольных волн были продолжены экспериментально Саваром (1791-1841), а теоретически - Лапласом и Пуассоном.

В XVIII веке было исследовано много других акустических явлений (скорость распространения звука в твердых телах и газах, резонанс, комбинационные тона и др.). Все они объяснялись движением частей колеблющегося тела и частиц среды, в которой распространяется звук. Иными словами, все акустические явления объяснялись как механические процессы.