ВОЛНЫ ВЕРОЯТНОСТИ

Макс Борн (1882—1970) преподавал физику в признанном центре немецкой науки — в Геттингене. Он пристально следил за развитием теории атома и был одним из первых, кто придал квантовым идеям Гейзенберга строгую математическую форму. В начале 1927 года он заинтересовался опытами по дифракции электронов.

Само по себе это явление после работ де Бройля уже не казалось удивительным. Любой физик, взглянув на дифракционную картину, мог бы теперь объяснить ее появление с помощью гипотезы о «волнах материи». Более того, по формуле де Бройля λ = h/m v; он мог вычислить длину этих «волн материи» и на опыте убедиться в правильности своих вычислений. Однако по-прежнему никто не мог объяснить, что он разумеет под словами «волны материи». Пульсацию электрона-шарика? Колебания какого-то эфира? Или вибрацию чего-либо еще более гипотетического? То есть насколько материальны сами «волны материи».

Волны вероятности

Летом 1927 года Макс Борн предположил: «волны материи» — это просто «волны вероятности», которые описывают вероятное поведение отдельного электрона, например вероятность его попадания в определенную точку фотопластинки.

Всякая новая и глубокая идея не имеет логических оснований, хотя нестрогие аналогии, которые к ней привели, можно проследить почти всегда. Поэтому вместо того чтобы доказывать правоту Борна (это невозможно), попытаемся почувствовать естественность его гипотезы. Обратимся снова к игре в «орел-решку» и вспомним причины, которые вынудили нас тогда применить теорию вероятностей. Их три:

полная независимость отдельных бросаний монеты;

полная неразличимость отдельных бросаний;

случайность исхода каждого отдельного бросания, которая проистекает от полного незнания начальных условий каждого опыта, то есть от неопределенности начальной координаты и импульса монеты.

Все эти три условия выполняются в атомных явлениях и, в частности, в опытах по рассеянию электронов. В самом деле:

электроны ведь все-таки частицы, и потому каждый из них рассеивается независимо от других;

кроме того, электроны так бедны свойствами (заряд, масса, спин — и все), что в квантовой механике они неразличимы, а вместе с тем неразличимы и отдельные акты рассеяния;

и наконец, начальные значения координат и импульсов электронов нельзя определить даже в принципе — это запрещено соотношением неопределенностей Гейзенберга δx δp ≥ 1/2h.

В таких условиях бессмысленно искать траекторию каждого электрона. Вместо этого мы должны научиться вычислять вероятность ρ(х) попадания электронов в определенное место х фотопластинки (или, как принято говорить в физике, вычислять функцию распределения ρ(х)).

При игре в «орел-решку» это очень просто: даже без вычислений ясно, что вероятность выпадания «орла» равна 1/2- В квантовой механике дело немного осложняется. Чтобы найти функцию ρ(х), описывающую распределение электронов на фотопластинке, необходимо решить уравнение Шредингера.

Макс Борн утверждал: вероятность ρ(х) найти электрон в точке х равна квадрату волновой функции ρ(x) = |ψ(x)|²

Утверждение Борна легко проверить. В самом деле, разделим дифракционную картину на концентрические круги и пронумеруем их, как мишень в тире. Затем сосчитаем число N_k электронов, попавших в каждое кольцо с радиусом x_k, и поделим эти числа на общее число электронов N, попавших на пластинку. Тогда, как и в случае стрелковой мишени, мы получим набор чисел ρ(x_k) = N_k/N, которые равны вероятности обнаружить электрон на расстоянии х_k от центра мишени. Теперь не трудно нарисовать распределение электронов по пластинке и проследить, как меняется их число при удалении от центра дифракционной картины.

График функции ρ(х) выглядит сложнее, чем диаграмма эллипса рассеяния при стрельбе в тире. Но если вид эллипса нам не под силу предсказать, то функцию ρ(х) мы можем вычислить заранее. Ее вид однозначно определяется законами квантовой механики: несмотря на свою необычность, они все-таки существуют, чего нельзя сказать с уверенностью о законах поведения человека, от которого зависит эллипс рассеяния.