Реальное строительство «воображаемого мира»

И все-таки Лобачевский до конца жизни не был удовлетворен результатами своей работы. Его мучило сознание ее незавершенности, отсутствие доказательства того, что «воображаемая геометрия» принципиально не может привести к абсурду. То есть он-то не сомневался в ее правильности, но вот окружающие... Ах, если бы ему, начертив воображаемые линии и фигуры, написать на чертеже одно-единственное слово: «Смотри!» Когда-то в древности это слово, поставленное на чертеже, заменяло доказательство... Увы, подобного «абсолютного доказательства» Николай Иванович так и не нашел.

В 1868 году, всего 12 лет спустя после смерти великого русского геометра, итальянский математик Эудженио Бельтрами опубликовал скромный мемуар «Опыт интерпретации неэвклидовой геометрии». Мемуар, который грохотом своего взрыва (его сравнивали с бомбой) разметал всех скептиков, всех тех, кто не верил в «воображаемую геометрию» Лобачевского. Мемуар, которого так недоставало при жизни Николая Ивановича...

Профессор математики Бельтрами некоторое время занимался картографией, для чего изучал способы отображения искривленной поверхности Земли на плоском листе бумаги. При этом ему пришлось столкнуться с весьма малоизученным вопросом о поверхности постоянной отрицательной кривизны — сферы наоборот, или псевдосферы. Когда-то, в конце прошедшего XVII столетия, о «мнимой сфере» говорил и писал Иоганн Ламберт — математик, физик, астроном и философ, со взглядами которого мы уже знакомы. Однако вряд ли Бельтрами знал о работах Ламберта. Рассмотрев большой класс поверхностей с постоянной отрицательной кривизной, Бельтрами умудрился построить их. Любознательный читатель может увидеть разновидность такой поверхности на нашем рисунке. Она похожа на седло. Самым же замечательным оказалось то, что геометрия на таких поверхностях была геометрией Лобачевского!

Реальное строительство «воображаемого мира»

Вот когда пришло прозрение для всех неверующих. Вот когда Бельтрами смог воскликнуть столь желанное «смотри» и указать на чертеж. Псевдосфера-поверхность, находящаяся в привычном эвклидовом пространстве, являлась пресловутой «воображаемой» плоскостью Лобачевского. Но если такая плоскость (или двухмерное пространство) существует, то и ее геометрия не может быть ложной.

Мемуар Бельтрами совершил настоящий переворот. Имя Лобачевского озарилось сиянием славы. Увы, посмертно.

К сожалению, нарисовать или представить наглядно трехмерное пространство, подчиняющееся аксиомам геометрии Лобачевского, невозможно. У автора не хватает фантазии даже на аналогии. А отсутствие таковых в специальной литературе не позволяет прибегнуть к заимствованию. Придется воспользоваться единственным выходом — логикой...

Двухмерное пространство нулевой кривизны — плоскость. Та же нулевая величина кривизны определяет и эвклидово пространство, отличающееся от плоскости лишь наличием еще одного измерения.

Двухмерное пространство отрицательной кривизны — плоскость Лобачевского. Та же отрицательная величина кривизны определяет и неэвклидово пространство Лобачевского, отличающееся от плоскости Лобачевского лишь наличием еще одного измерения. Представить себе его наглядно — трудно, но математически оно описывается безукоризненно. Кривизну пространства можно измерить опытным путем. И тогда в пространстве отрицательной кривизны сумма углов треугольника будет зависеть от величины его сторон и составлять меньше 180°. Через точку, лежащую вне «прямой», можно будет провести не одну, а целый пучок «прямых», не пересекающихся с данной, и так далее и тому подобное. Все так, как предсказывал еще в 1826 году Николай Иванович Лобачевский на заседании физико-математического отделения Казанского университета.

Мемуар Бельтрами возродил интерес к неэвклидовой геометрии. Появляется множество работ, у псевдосфер обнаруживаются некоторые особенности, которыми плоскость Лобачевского не обладает. Математики предлагают другие модели и другие интерпретации не только плоскости, но и пространства Лобачевского. Об одной из них, забегая по времени вперед, автор собирается поведать.

Представим себе поезд, мчащийся по рельсам, Вдоль состава, в направлении движения в вагон-ресторан, идет пассажир. Чему равна его скорость относительно пролетающих за окнами полустанков? Все просто — сумме скоростей поезда и его движения вдоль вагона.

На обратном пути его движение уже не столь прямолинейно. Пошатываясь, он двигается под разными углами к направлению движения поезда. Теперь его скорость относительно тех же полустанков равна разности скоростей. Но не просто от скорости поезда в 120 км/час нужно отнять 2 км/час, которые он преодолевает, добираясь до своего купе. Нет, полная скорость определится как векторная разность, А сложение и вычитание векторов производится по правилу параллелограмма.

Мы вспоминаем о Пифагоре и приходим к мысли, что законы сложения скоростей подчиняются правилам эвклидовой геометрии. Или, как принято говорить среди специалистов, геометрия пространства скоростей — эвклидова. Впрочем, такое заявление — спекуляция чистой воды. Решить, какой геометрией является геометрия пространства скоростей, должен опыт. И вот опыт-то и обнаружил в пространстве скоростей первое противоречие со свойствами эвклидовой геометрии. Случилось это так.

В 1877 году американские физики Майкельсон и Морли поставили эксперимент, который обещал просветить физику в отношении противоречивых свойств мирового эфира. Автору пока не хотелось бы вдаваться в подробности опыта и задач, которые ставили перед собой экспериментаторы. Это увело бы повествование слишком далеко в сторону. Сейчас нам важно то, что в опыте сравнивалась скорость света Солнца в двух направлениях: с востока на запад — вдоль и с севера на юг — поперек движения Земли по орбите.

Сумма двух векторов, совпадающих по направлению, всегда больше суммы тех же векторов, направленных под углом друг к другу. И потому Майкельсон и Морли ожидали, что скорость света в сумме со скоростью движения Земли по разным направлениям даст разные величины. Каково же было их изумление, когда оказалось, что, с чем бы ни складывалась скорость света, она всегда остается одной той же.

Значит, законы Эвклида для сложения скоростей не годятся! Значит, геометрия пространства скоростей неэвклидова. Забегая еще вперед, скажем, что в 1908 году немецкий математик Клейн обнаружил, что геометрия скоростей в точности совпадает с геометрией Лобачевского. «Из всех неэвклидовых геометрий, — пишет Я. А. Смородинский, — геометрия Лобачевского оказалась самой реальной, в то время как «реальная» эвклидова оказалась лишь приближенной моделью».